§ Преобразование координат

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 7. Преобразование координат
Преобразование декартовых прямоугольных координат при параллельном сдвиге осей определяется формулами

х = х'+ а, у=у'+ b.

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х', у' — координаты той же точки относительно новых осей, а, b — координаты нового начала О' относительно старых осей (говорят также, что а есть величина сдвига в направлении оси абсцисс, b — величина сдвига в направлении оси ординат).

Преобразование декартовых прямоугольных координат при повороте осей на угол  (который надо понимать, как в тригонометрии) определяется формулами

x = х' cos  — y sin ,

у = x' sin  — у' cos .

Здесь х, у суть координаты произвольной точки М плоскости относительно старых осей, х’, у’ — координаты той же точки относительно новых осей. Формулы

x = х' cos  — y sin  + а,

у = х' sin  + y cos  + b

определяют преобразование координат при параллельном сдвиге системы осей на величину а в направлении Ох, на величину b в направлении Оу и последующем повороте осей на угол . Все указанные формулы соответствуют преобразованию координат при неизменном масштабе. Неизменность масштаба предполагается также в нижеприводимых задачах.

127. Написать формулы преобразования координат, если начало координат (без изменения направления осей) перенесено в точку: 1) А(3; 4); 2) В(-2; 1); 3) С(— 3; 5).

128. Начало координат перенесено (без изменения направления осей) в точку О' (3; —4). Координаты точек А(1, 3), В( — 3; 0) и С( — 1; 4) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

129. Даны точки А (2; 1), В(— 1; 3) и С(— 2; 5). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено (без изменения направления осей): 1) в точку А; 2) в точку В; 3) в точку С.

130. Определить старые координаты начала О' новой системы, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

1) x = x'+3, у = у' + 5; 2) х = x '— 2, у = у' + 1;

3) х = x', у = у' — 1; 4) х = х' — 5, у = у'.

131. Написать формулы преобразования координат, если оси координат повёрнуты на один из следующих углов:

1) 60°; 2) —45°; 3) 90°; 4) —90°; 5) 180°.

132. Оси координат повёрнуты на угол а = 60°. Координаты точек А (2/3; —4), Б(/3; 0) и С(0; —2/3) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

133. Даны точки М(3; 1), N(—1; 5) и Р(— 3; —I). Найти их координаты в новой системе, если оси координат повёрнуты на угол:

1) —45°; 2) 90°; 3) —90°; .4) 180°.

134. Определить угол а, на который повёрнуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

1) x =, y =;

2) x =, y =;
135. Определить координаты точки О' нового начала координат, если точка A(3; —4) лежит на новой оси абсцисс, а точка В(2; 3) лежит на новой оси ординат, причем оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

136. Написать формулы преобразования координат, если точка M₁(1; —3) лежит на новой оси абсцисс, а точка M₂(l; —7) лежит на новой оси ординат, причём оси старой и новой систем координат имеют соответственно одинаковые направления.

137. Две системы координатных осей Ох, Оу и Ох’, Оу’ имеют общее начало О и преобразуются одна в другую поворотом на некоторый угол. Координаты точки А(3; — 4) определены относительно первой из них. Вывести формулы преобразования координат, зная, что положительное направление оси Ох^’ определено отрезком ОА.

138. Начало координат перенесено в точку O’(—1; 2), оси координат повёрнуты на угол  = arctg

. Координаты точек М₁ (3; 2), М₂(2; —3) и M₃(13; —13) определены в новой системе. Вычислить координаты этих же точек в старой системе координат.

139. Даны три точки: А (5; 5), В(2; —1) и С(12; —6). Найти их координаты в новой системе, если начало координат перенесено в точку В, а оси координат повёрнуты на угол  = arctg

.

140. Определить старые координаты нового начала и угол , на который повёрнуты оси, если формулы преобразования координат заданы следующими равенствами:

1) x = у’ + 3, y = x’ — 2; 2) х = — x’ — 1, у = —y’ + 3;

3) x =

y =—

.

141. Даны две точки: М₁(9; —3) и М₂(—6; 5). Начало координат перенесено в точку М_ь а оси координат повёрнуты так, что положительное направление новой оси абсцисс совпадает с направлением отрезка М₁М₂. Вывести формулы преобразования координат.

142. Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и направлена одинаково с нею. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса О(1; 2) и полярные координаты точек M₁(7;

), М₂(3; 0), М₃(5; —

), М₄(2;

) и M₅(2; —

). Определить координаты этих точек в декартовой прямоугольной системе.

143. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны полярные координаты точек M₁(5;

), М₂(3; —

), М₃(1;

), М₄(6;

) и M₅(2; —

).

Определить декартовы прямоугольные координаты этих точек.

144. Полярная ось полярной системы координат параллельна оси абсцисс декартовой прямоугольной системы и одинаково с нею направлена. Даны декартовы прямоугольные координаты полюса О(3; 2)_и точек М₁(5; 2), М₂(3; 1), М₃(3; 5), М₄ (3+

; 2—

) и М₅ (3+

; 3). Определить полярные координаты этих точек.

145. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, полярная ось направлена по биссектрисе первого координатного угла. Даны декартовы прямоугольные координаты точек М₁(—1; 1), М₂(

;—

M₃(1; ), М₄(—

; 1) и М₅(2

; —2). Определить полярные координаты этих точек.

Учащимся

Учителям