§ Деление отрезка в данном отношении

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 5. Деление отрезка в данном отношении
Если точка М(х; у) лежит на прямой, проходящей через две данные точки М₁(х₁, y₁), М₂(х₂; у₂), и дано отношение  =

, в котором точка М делит отрезок М₁М₂, то координаты точки М определяются по формулам

x = y =

Если точка М является серединой отрезка M₁M₂, то её координаты определяются по формулам

x = y =

86. Даны концы А(3; —5) и В(—1; 1) однородного стержня. Определить координаты его центра тяжести.

87. Центр тяжести однородного стержня находится в точке М(1; 4), один из его концов в точке Р(—2; 2). Определить координаты точки Q другого конца этого стержня.

88. Даны вершины треугольника А(1; — 3), В(3; — 5) и С(—5; 7). Определить середины его сторон.

89. Даны две точки А (3; —1) и В(2; 1). Определить:

1) координаты точки М, симметричной точке А относительно точки В;

2) координаты точки N, симметричной точке В относительно точки А.

90. Точки М(1; — 1), N(— 1; 4) и Р(—2; 2) являются серединами сторон треугольника. Определить его вершины.

91. Даны три вершины параллелограмма А(3; —5), В(5; —3), С(— 1; 3). Определить четвёртую вершину D, противоположную В.

92. Даны две смежные вершины параллелограмма А(—3; 5), В(1; 7) и точка пересечения его диагоналей М(1; 1). Определить две другие вершины.

93. Даны три вершины А (2; 3), В(4; —1) и С(0; 5) параллелограмма ABCD. Найти его четвёртую вершину D.

94. Даны вершины треугольника А(1; 4), В(3; —9), С(—5; 2). Определить длину его медианы, проведённой из вершины В.

95. Отрезок, ограниченный точками А (1; — 3) и В(4; 3), разделён на три равные части. Определить координаты точек деления.

96. Даны вершины треугольника А(2; —5), В(1;—2), С(4; 7). Найти точку пересечения со стороной АС биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

97. Даны вершины треугольника А(3; —5), В(—3; 3) и С(—1; —2). Определить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине Л.

98. Даны вершины треугольника А(— 1; — 1), В(3; 5), С(—4; 1). Найти точку пересечения с продолжением стороны ВС биссектрисы его внешнего угла при вершине А.

99. Даны вершины треугольника А(3; — 5), В(1; —3), С(2; —2). Определить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине В.

100. Даны три точки А(1; —1), В(3; 3) и С(4; 5), лежащие на одной прямой. Определить отношение , в котором каждая из них делит отрезок, ограниченный двумя другими.

101. Определить координаты концов А и В отрезка, который точками Р(2; 2) и Q(l; 5) разделён на три равные части.

102. Прямая проходит через точки М₁(— 12; — 13) и М₂(—2; —5). На этой прямой найти точку, абсцисса которой равна 3.

103. Прямая проходит через точки М (2; —3) и N(—6; 5). На этой прямой

104. Прямая проходит через точки A(7; —3) и B(23; —6). Найти точку пересечения этой прямой с осью абсцисс.

105. Прямая проходит через точки А (5; 2) и В(—4;—7). Найти точку пересечения этой прямой с осью ординат.

106. Даны вершины четырёхугольника А(—3; 12), В(3; —4), С(5; —4) и D(5; 8). Определить, в каком отношении его диагональ АС делит диагональ BD.

107. Даны вершины четырёхугольника А(—2; 14), B(4; —2), С(6; —2) и D(6; 10). Определить точку пересечения его диагоналей АС и BD.

108. Даны вершины однородной треугольной пластинки А(х₁, y₁), B(х₂, y₂,) и С(х₃; у₃). Определить координаты её центра тяжести.

Указание. Центр тяжести находится в точке пересечения медиан.

109. Точка М пересечения медиан треугольника лежит на оси абсцисс, две вершины его — точки Л (2;— 3) и В(—5; 1), третья вершина С лежит на оси ординат. Определить координаты точек М и С.

110. Даны вершины однородной треугольной пластинки А(х₁, y₁), B(х₂, y₂,) и С(х₃; у₃). Если соединить середины её сторон, то образуется новая однородная треугольная пластинка. Доказать, что центры тяжести обеих пластинок совпадают.

Указание. Воспользоваться результатом задачи 108.

111. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 12, в которой сделан квадратный вырез; прямые разреза

Черт. 4. Черт. 5.
проходят через центр квадрата, оси координат направлены по рёбрам пластинки (черт. 4). Определить центр тяжести этой пластинки.

112. Однородная пластинка имеет форму прямоугольника со сторонами, равными а и b, в котором сделан прямоугольный вырез; прямые разреза проходят через центр, оси координат направлены по рёбрам пластинки (черт. 5). Определить центр тяжести этой пластинки.

1

13. Однородная пластинка имеет форму квадрата со стороной, равной 2а, от которого отрезан треугольник; прямая разреза соединяет середины двух смежных сторон, оси координат направлены по рёбрам пластинки (черт. 6). Определить центр тяжести пластинки.

114. В следующих точках A(x₁; у₁), В(x₂; у₂) и С(х₃; у₃) сосредоточены массы т, п и р. Определить координаты центра тяжести этой системы трёх масс.

116. Точки A(4; 2), B(7; —2) и С(1; 6) являются вершинами треугольника, сделанного из однородной проволоки. Определить центр тяжести этого треугольника. Черт. 6.

Учащимся

Учителям