скачать doc
§ 46. Поверхности второго порядка.
Эллипсоидом называется поверхность, которая в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяется уравнением
(1)Уравнение (1) называется каноническим уравнением эллипсоида. Величины а, b, с суть полуоси эллипсоида (черт. 47). Если все они различны, эллипсоид называется трёхосным; в случае, когда какие-нибудь две из них одинаковы, эллипсоид является поверхностью вращения. Если, например, а = b, то осью вращения будет Оz. При а = b < с эллипсоид вращения называется вытянутым, при а = b > с — сжатым. В случае, когда а = b = с, эллипсоид представляет собой сферу. Гиперболоидами называются поверхности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями:
Гиперболоид, определяемый уравне-нием (2), называется однополостным (черт. 48); гиперболоид, определяемый уравнением (3), — двухполостным (черт. 49); уравнения (2) и (3) называются каноническими уравнениями соот-ветствующих гиперболоидов. Величины а, b, с называются полуосями гиперболоида. В случае однополостного гиперболоида, заданного уравне-нием (2), только первые из них (а и b) показаны на черт. 48. В случае двухполостного гипербо-лоида, заданного уравнением (3), одна из них (именно, с) показана на черт. 49. Гиперболоиды, определяемые уравнениями (2) и (3), при а = 6 являются поверхностями вращения.
Параболоидами называются поверх-ности, которые в некоторой системе декартовых прямоугольных координат определяются уравнениями:
(1) (2)где р и q — положительные числа, называемые параметрами параболоида. Параболоид, определяемый уравнением (4), называется эллиптическим (черт. 50); параболоид, определяемый уравнением (5), — гиперболическим (черт. 51). Уравнения (4) и (5) называют каноническими уравнениями соответствующих
параболоидов. В случае, когда р = q, параболоид, определяемый уравнением (4), является поверхностью вращения (вокруг Ог).
Рассмотрим теперь преобразование пространства, которое называется равномерным сжатием (или равномерным растяжением).
Выберем какую-нибудь плоскость; обозначим её буквой α. Зададим, кроме того, некоторое положительное число q. Пусть М — произвольная
точка пространства, не лежащая на плоскости α, М0 — основание перпендикуляра, опущенного на плоскость α из точки М. Переместим точку М по прямой ММ0 в новое положение М' так, чтобы имело место равенство
М0М' = qM0М
и
чтобы после перемещения точка осталась с той же стороны от плоскости α, где она была первоначально (черт. 52). Точно так же мы поступим со всеми точками пространства, не лежащими на плоскости α; точки, которые расположены на плоскости α, оставим на своих местах. Таким образом, все точки пространства, за исключением тех, что лежат на плоскости α, переместятся; при этом расстояние каждой точки от плоскости α изменится в некоторое определённое число раз, общее для всех точек. Описываемое сейчас перемещение точек пространства называется его равномерным сжатием к плоскости α; число q носит название коэффициента сжатия. q Черт. 52.
Пусть дана некоторая поверхность F; при равномерном сжатии пространства точки, которые её составляют, переместятся и в новых положениях составят поверхность F'. Будем говорить, что поверхность F' получена из F в результате равномерного сжатия пространства. Оказывается, что многие поверхности второго порядка (все, кроме гиперболического параболоида) можно получить в результате равномерного сжатия из поверхностей вращения.
П р и м е р. Доказать, что произвольный трёхосный эллипсоид
может быть получен из сферы x2 + y2 + z2 = a2 , в результате двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям: к плоскости Оху с коэффициентом сжатия q1=
и к плоскости Охя с коэффициентом сжатия q2 = 
.Доказательство. Пусть производится равномерное сжатие пространства к плоскости Оху с коэффициентом q1 =
и пусть М'(х'; у'; z') — точка, в которую переходит при этом точка М (х; у; z). Выразим координаты х', у', z' точки М' через координаты х, у, z точки М'. Так как прямая ММ' перпендикулярна к плоскости Оху, то х'=х, у' = у. С другой стороны, так как расстояние от точки М' до плоскости Оху равно расстоянию от точки М до этой плоскости, помноженному на числоq1 =
, то z' = z. Таким образом, мы получаем искомые выражения: х'=x, y'=y, z'=z или x= х', y= y' , z=z ', Предположим, что М (х; у; г) — произвольная точка сферы
х2 + у2 + z2 = а2.
Заменим здесь х, у, z их выражениями (7); мы получим: x2+y2 +
= а2, откудаСледовательно, точка М'( x'; у'; z') лежит на эллипсоиде вращения. Аналогично, мы должны осуществить сжатие пространства к плоскости Охг по формулам:
x= х'', y= y'', x= х', z=z'',
тогда получим трёхосный эллипсоид и именно тот, уравнение которого дано в условии задачи.
Отметим ещё, что однополостный гиперболоид и гиперболический пара-болоид,_суть линейчатые поверхности, т. е. они состоят из прямых; эти прямые называются прямолинейными образующими указанных поверхностей.
Однополостный гиперболоид
имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:
где α и β — некоторые числа, не равные одновременно нулю. Гиперболический параболоид
также имеет две системы прямолинейных образующих, которые определяются уравнениями:
Конической поверхностью, или конусом, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая проходит через постоянную точку S и пересекает некоторую определённую линию L. Точка S называется вершиной конуса; линия L — направляющей.
Цилиндрической поверхностью, или цилиндром, называется поверхность, которая описывается движущейся прямой (образующей) при условии, что эта прямая имеет постоянное направление и пересекает некоторую определённую линию L (направляющую).
1153. Установить, что плоскость х — 2 = 0 пересекает эллипсоид
по эллипсу; найти его полуоси и вершины.1154. Установить, что плоскость z + 1 = 0 пересекает одно-полостный гиперболоид
по гиперболе; найти её полуоси и вершины.
1155. Установить, что плоскость _у + 6 = 0 пересекает гиперболический параболоид
по параболе; найти ей параметр и вершину.
1156. Найти уравнения проекций на координатные плоскости сечения эллиптического параболоида
y2+z2 = x
плоскостью
х + 2у —z = 0.
1157. Установить, какая линия является сечением эллипсоида
плоскостью
2х —Зу + 4z —11=0,
и найти её центр.
1158. Установить, какая линия являетса, сечением гиперболического параболоида
плоскостью
Зх—Зу + 4z + 2 = 0,
и найти её центр.
1159. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
1)
2) 
3)
и найти центр каждой из них.
1160. Установить, при каких значениях т плоскость x+ mz—1=0 пересекает двухполостный гиперболоид
x 2+ у2 — z2 = —1
а) по эллипсу, б) по гиперболе.
1161. Установить, при каких значениях т плоскость х + my — 2 = 0 пересекает эллиптический параболоид
а) по эллипсу, б) по параболе.
1162. Доказать, что эллиптический параболоид
имеет одну общую точку с плоскостью
2х — 2у — z — 10 = 0,
и найти её координаты.
1163. Доказать, что двухполостный гиперболоид
имеет одну общую точку с плоскостью
5х + 2z + 5 = 0,
и найти её координаты»
1164. Доказать, что эллипсоид
имеет одну общую точку с плоскостью
4х — 3у + 12z —54 = 0,
и найти её координаты.
1165. Определить, при каком значении т плоскость
х — 2у — 2z + m = 0
касается эллипсоида
1166. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору
n ={2; —1; —2} и касающейся эллиптического параболоида
1167. Провести касательные плоскости к эллипсоиду
4х2 + 16у2 + 8z2 = 1
параллельно плоскости
x — 2у + 2z + 17 = 0;
вычислить расстояние между найденными плоскостями.
1168. Коэффициент равномерного сжатия пространства к плоскости Oyz равен
. Составить уравнение поверхности, в которую при таком сжатии преобразуется сфераx2 + y2 + z2 = 25.
1169. Составить уравнение поверхности, в которую преобразуется
эллипсоид
при трёх последовательных равномерных сжатиях пространства к координатным плоскостям, если коэффициент сжатия к плоскости Оху равен
, к плоскости Охz равен 
и к плоскости Oyz равен .1170. Определить коэффициенты ql и q2 двух последовательных равномерных сжатий пространства к координатным плоскостям Оху, Охz, которые преобразуют сферу
х2 + у2 + 22 = 25
в эллипсоид
1171. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса
вокруг оси Оу.
Решение*). Пусть М(х; у; z) — произвольная точка пространства, С — основание перпендикуляра, опущенного из точки М на ось Оу (черт. 53). Вращением этого перпендикуляра вокруг оси Оу точка М может быть переведена в плоскость Oyz; в этом расположении обозначим её N(0; Y; Z). Так как CM = CN и СМ =
, CN =Z тоZ =
(1)*) Задача 1171 решена здесь как типовая.
Кроме, того, очевидно, что
Y = у (2)
Т
очка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения в том и только в том случае, когда N лежит на данном эллипсе, т. е. когда 
(3)принимая по внимание равенства (1) и (2), отсюда получаем уравнение для координат точки М:
(4)Из предыдущего ясно, что оно удовлетворяется в том и только в том случае, когда точка М лежит на рассматриваемой поверхности вращения. Следовательно, уравнение (4) и есть искомое уравнение этой поверхности.
1172. Составить уравнение поверхности, образованной вращением эллипса
вокруг оси Ох.
1173. Составить уравнение поверхности, образованной вращением гиперболы
вокруг оси Oz.
1174. Доказать, что трёхосный эллипсоид, определяемый уравнением
может быть получен в результате вращения эллипса
вокруг оси Ох и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Оху.
1175. Доказать, что однополостный гиперболоид, определяемый уравнением
1176 — 1179] § 46. поверхности второго порядка 181
может быть получен в результате вращения гиперболы
вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.
1176. Доказать, что двухполостный гиперболоид, определяемый уравнением
может быть получен в результате вращения гиперболы вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.
1177. Доказать, что эллиптический параболоид, определяемый уравнением
может быть получен в результате вращения параболы
вокруг оси Oz и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Oxz.
1178. Составить уравнение поверхности, образованной движением параболы, при условии, что эта парабола всё время остаётся в плоскости, перпендикулярной к оси Оy, причём ось параболы не меняет своего направления, а вершина скользит по другой параболе, заданной уравнениями
Подвижная парабола в одном из своих положений дана уравнениями
1 179. Доказать, что уравнение
z = ху
определяет гиперболический параболоид.
1180. Найти точки пересечения поверхности и прямой:
a)
и 
б)
и 
в)
и 
г)
и 
1181. Доказать, что плоскость
2х— 12у — z + 16 = 0
пересекает гиперболический параболоид
x2 – 4y2 = 2z
по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих.
1182. Доказать, что плоскость
4х — 5у— 10z —20 = 0
пересекает однополостный гиперболоид
по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих.
1183. Убедившись, что точка М(1; 3; —1) лежит на гиперболическом параболоиде
4х2 — z = у,
составить уравнения его прямолинейных образующих, проходящих через М.
1184. Составить уравнения прямолинейных образующих однополостного гиперболоида
параллельных плоскости
6х + 4у + 3z — 17 = 0.
1185. Убедившись, что точка А(—2; 0; 1) лежит на гиперболическом параболоиде
определить острый угол, образованный его прямолинейными образующими, проходящими через А.
1186. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в начале координат, а направляющая дана уравнениями:
1)
, 2) 
, 3) 
1187. Доказать, что уравнение
z2 = ху
определяет конус с вершиной в начале координат.
1188. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, направляющая которого дана уравнениями
1189. Составить уравнение конуса с вершиной в точке (0; 0; с), направляющая которого дана уравнениями
1190. Составить уравнение конуса, вершина которого находится в точке (3;—1;—2), а направляющая дана уравнениями
1191. Ось Oz является осью круглого конуса с вершиной в начале координат, точка M1(3; —4; 7) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.
1192. Ось Оу является осью круглого конуса с вершиной в начале координат; его образующие наклонены под углом в 60° к оси Оу. Составить уравнение этого конуса.
1193. Прямая
является осью круглого конуса, вершина которого лежит на плоскости Oyz. Составить уравнение этого конуса, зная, что точка M1(1; 1; —
) лежит на его поверхности.1194. Составить уравнение круглого конуса, для которого оси координат являются образующими.
1195. Составить уравнение конуса с вершиной в точке S(5; 0; 0), образующие которого касаются сферы
x2 + y2 + z2 = 9.
1196. Составить уравнение конуса с вершиной в начале координат, образующие которого касаются сферы
(х + 2)2 + (у — l)2 + (z—3)2 = 9.
1197. Составить уравнение конуса с вершиной в точке S(3; 0; —1), образующие которого касаются эллипсоида
1198. Составить уравнение цилиндра, образующие которого параллельны вектору l={2; —3; 4 }, а направляющая дана уравнениями
1199. Составить уравнение цилиндра, направляющая которого дана уравнениями
а образующие перпендикулярны к плоскости направляющей.
1200. Цилиндр, образующие которого перпендикулярны к плоскости
х + у —2z —5 = 0,
описан около сферы
x2 + y2 + z2 = 1.
Составить уравнение этого цилиндра.
1201. Цилиндр, образующие которого параллельны прямой
х = 2t — 3, у = — t + 7, z = — 2t + 5,
описан около сферы
x2 + y2 + z2 — 2х + 4у + 2z — 3 = 0.
Составить уравнение этого цилиндра.
1202. Составить уравнение круглого цилиндра, проходящего через точку S(2; —1; 1), если его осью служит прямая
х = 3t + 1, у = — 2t — 2, z = t + 2.
1203. Составить уравнение цилиндра, описанного около двух сфер:
(х —2)2 + (у — 1)2 + z2 = 25, х2 +у2 +z2 = 25.