) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

ОТВЕТЫ (Глава 2)

146. f(x, у) =2ах—а². 147. 1) f (x; у) = 2ах; 2) f (x, у) = —2ax — а². 148. f(x, у) = 4x² + 4у² + 2а². 149. f (x, у) = 4x² + 4y² — 4ах — 4ау + 4а². 150. f (х, у) = х² + y² — 25. 151. f (х, у) = 2ху— 16. 152. При повороте координатных осей выражение функции не меняется. 153. (3; 1). 154. Такой точки не существует. 155. ±45° или ± 135°. 156. 30°, 120°, —60°, — 150°. 157. Точки M₁, M₄ и M₅ лежат на линии; точки М_г, М₃ , и М_в не лежат на ней. Уравнение определяет биссектрису второго и четвёртого координатных углов (черт. 57). 158. а) (0; — 5), (0; 5); б) (—3; —4), (—3; 4); в) (5; 0); г) на данной линии такси точки нет; д) (— 4; 3), (4; 3); е) (0; — 5); ж) на данной линии такой точки нет. Уравнение определяет окружность с центром О (0; 0) и радиусом 5 (черт. 58). 159. 1) Биссектриса первого и третьего координатных углов; 2) биссектриса второго и четвёртого координатных углов; 3) прямая, параллельная оси Оу, отсекающая на положительной полуоси Ох, считая от начала координат, отрезок, равный 2 (черт. 59); 4) прямая, параллельная оси Оу, отсекающая на отрицательной полуоси Ох, считая от начала координат, отрезок, равный 3 (черт. 59); 5) прямая, параллельная оси Ох, отсекающая на положительной полуоси Оу, считая от начала координат, отрезок, равный 5 (черт. 59); 6) прямая, параллельная оси Ох, отсекающая на отрицательной полуоси Оу, считая от начала координат, отрезок, равный 2 (черт. 59); 7) прямая, совпадающая с осью ординат; 8) прямая, совпадающая с осью абсцисс; 9) линия

Черт. 57. Черт. 58.

состоит из двух прямых: биссектрисы первого и третьего координатных углов и прямой, совпадающей с осью ординат; 10) линия состоит из двух прямых: биссектрисы второго и четвёртого координатных углов и прямой, совпадающей с осью абсцисс; 11) линия состоит из двух биссектрис координатных углов (черт. 60); 12) линия состоит из двух прямых: прямой, совпадающей с осью

Черт. 59. Черт. 60.

абсцисс, и прямой, совпадающей с осью ординат; 13) линия состоит из двух прямых, параллельных оси абсцисс, которые отсекают на оси ординат, считая от начала координат, отрезки, равные 3 и —3 (черт. 61); 14) линия состоит из двух прямых, параллельных оси Оу, которые отсекают на положительной полуоcи Ох, считая от начала координат, отрезки, равные 3 и 5 (черт. 62); 15) линия состоит из двух прямых, параллельных оси Ох, которые отсекают на отрицательной полуоси Оу, считая от начала координат, отрезки, равные 1 и 4 (черт. 63); 16) линия состоит из трёх прямых: прямой, совпадающей с осью абсцисс, и двух прямых, параллельных оси ординат, которые отсекают на положительной полуоси абсцисс, считая от начала координат, отрезки, равные

Черт. 61. Черт. 62.

` Черт. 63. Черт. 64.

Черт. 65.

2 и 5; 17) линия состоит из двух лучей: биссектрис первого и второго координатных углов (черт. 64); 18) линия состоит из двух лучей: биссектрис первого и четвёртого координатных углов (черт 65, а); 19) линия состоит из двух лучей: биссектрис третьего и четвертого координатных углов (черт. 65, а); 20) линия состоит из двух лучей: биссектрис второго и третьего координатных углов (черт. 65,8); 21) линия состоит из двух лучей, расположенных в верхней полуплоскости, выходящих из точки (1; 0) и направленных параллельно биссектрисам координатных углов (черт. 64); 22) линия состоит из двух лучей,

Черг. 66. Черт. 67.

расположенных в верхней полуплоскости, выходящих из точки (— 2; 0) и направленных параллельно биссектрисам координатных углов (черт. 64); 23) окружность с центром в начале координат и радиусом 4 (черт. 66); 24) окружность с центром O₁ (2; 1) и радиусом 4 (черт. 66); 25) окружность с центром

ерт. 68. Черт. 69.
(—5; 1) и радиусом 3; 26) окружность с центром (1; 0) и радиусом 2; 27) окружность с центром (0; — 3) и радиусом 1; 28) линия состоит из одной точки (3; 0) — вырожденная линия; 29) линия состоит из одной точки (0; 0) — вырожденная линия; 30) нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы данному уравнению («мнимая линия»); 31) нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяли бы данному уравнению («мнимая линия»). 160. Линии 1), 2) и 4) проходят через начало координат. 161. 1) а) (7; 0), (—7; 0); б) (0; 7), (0; —7); 2) а) (0; 0), (6; 0); б) (0; 0), (0; —8); 3) а) (— 10; 0), (— 2; 0); б) линия с осью Оу не пересекается; 4) линия с координатными осями не пересекается; 5) а) (0; 0), (12; 0); б) (0; 0), (0; —16); 6) а) линия с осью Ох не пересекается; б) (0; —1), (0; —7); 7) линия с координатными осями не пересекается. 162. 1) (2; 2), (— 2; — 2); 2) (1; — 1), (9; — 9); 3) (3; — 4), (1

; —4

); 4) линии не пересекаются. 163. Точки М₁М₂и М₄ лежат на данной линии; точки M₃ и М₅ не лежат на ней. Уравнение определяет окружность (черт. 67). 164. а) (6;

); б) (6; —

) ; в) (3; 0); г) (2

;

) ; прямая, перпендикулярная к полярной оси и отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок, равный 3 (черт. 688). 165. а) (1;

); б) (2;

) и (2;

); в) (

;

) и (

;

); прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси и отстоящая от неё на расстоянии 1 (черт. 68). 166. 1) Окружность с центром в полюсе и радиусом 5; 2) луч, выходящий из полюса, наклонённый к 2полярной оси под углом

(черт. 69); 3) луч, выходящий из полюса, наклонённый к полярной оси под углом —

(черт. 69); 4) прямая, перпендикулярная к полярной оси, отсекающая на ней, считая от полюса, отрезок а = 2; 5) прямая, расположенная в верхней полуплоскости, параллельная полярной оси, отстоящая от неё на расстоянии, равном 1; 6) окружность с центром C₁ (3; 0) и ра2диусом 3 (черт. 70); 7) окружность с центром С₂ (5;

) и радиусом 5 (черт. 70); 8) линия состоит

Черт. 71. Черт. 72.

из двух лучей, выходящих из полюса, один из которых наклонён к полярной оси под углом

,

а другой — под углом

(черт. 70); 9) линия состоит из концентрических окружностей с центром в полюсе, радиусы которых r определяются по формуле

, где n —любое целое положительное число или нуль. 167. Черт. 71 и черт. 72,
дачи удовлетворяют две окружности, уравнения которых в полярных координатах

. 204.

. 205. ,

206. ,

207. 1)

; 2)

; 3)

. 208. 1)

. 209. 1)

; 2)

; 3)

; 4)

; 5)

; 6)

; 7)

Учащимся

Учителям