§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
Декартова прямоугольная система координат в пространстве определяется заданием линейной единицы для измерения длин и трёх пересекающихся в одной точке взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-либо порядке.

Точка пересечения осей называется началом координат, а сами оси — осями координат. Первая координатная ось называется осью абсцисс, вторая — осью ординат, третья — осью апликат.

Черт. 38. Черт. 39.
Начало координат обозначается буквой О, оси координат обозначаются соответственно символами Ох, Оу, Оz.

Пусть М — произвольная точка пространства, М_х,>Му и М_г — её проекции на координатные оси (черт. 38).

Координатами точки М в заданной системе называются числа:

х = ОМ_х, у = ОМ_у, z = ОМ_г

(черт. 38), где ОМ_Х есть величина отрезка

оси абсцисс, ОМ_у — величина отрезка

оси ординат, ОМ_z — величина отрезка оси апликат. Число х называется абсциссой, у — ординатой, z — апликатой точки М. Символ М (х; у; z) обозначает, что точка М имеет координаты х, у, z.

Плоскость Оуz разделяет всё пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Ох, называется ближним, другое — дальним. Плоскость Охz также разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Оу, называется правым, другое — левым. Наконец, и плоскость Оху разделяет пространство на два полупространства; то из них, которое расположено в положительном направлении оси Оz, называется верхним, другое — нижним.

Три плоскости Оху, Охz и Оуz вместе разделяют пространство на восемь частей; их называют координатными октантами и нумеруют так, как показано на черт. 39.

719. Построить (в аксонометрической проекции) следующие точки по их декартовым координатам: А (3; 4; 6), В(—5; 3; 1), С (1; — 3; — 5), D (0; — 3; 5), Е (— 3; — 5; 0) и F (— 1; — 5; — 3).

720. Даны точки: А (4; 3; 5), В (—3; 2; 1), С (2; —3; 0) и D (0; 0; —3). Найти координаты их проекций: l) на плоскость Оху; 2) на плоскость Oxz; 3) на плоскость Oyz; 4) на ось абсцисс; 5) на ось ординат; 6) на ось апликат.

721. Найти координаты точек, симметричных точкам А (2; 3; 1), В (5; —3; 2), С (—3; 2; —1) и D (a; b; с) относительно: 1) плоскости Оху; 2) плоскости Oxz; 3) плоскости Oyz; 4) оси абсцисс; 5) оси ординат; 6) оси апликат; 7) начала координат.

722. Даны следующие четыре вершины куба А(— а; — а; — а),В(а; — а; — а), С (— а; а; — а) и D (а; а; а). Определить его остальные вершины.

723. В каких октантах могут быть расположены точки, координаты которых удовлетворяют одному из следующих условий: 1) х — у = 0; 2) х + у = 0; 3) х — 2 = 0; 4) х +z = 0; 5) у — z = 0; 6) у + z = 0.

724. В каких октантах могут быть расположены точки, если:

1) ху > 0; 2) xz < 0; 3) у z > 0; 4) xyz > 0; 5) хуz < 0.

725. Найти центр шара радиуса R = 3, который касается всех трёх координатных плоскостей и расположен: 1) во втором октанте; 2) в пятом октанте; 3) в шестом октанте; 4) в седьмом октанте: 5) в восьмом октанте.

Учащимся

Учителям