§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения

центральной линии второго порядка
Пусть дано уравнение

Ax² + 2Bxy + Су² +2Dx + 2Еу + F = 0, (1)

определяющее центральную линию второго порядка (

= АС — В²  0). Перенося начало координат в центр S (х„; у_с) этой линии и преобразуя уравнение (1) по формулам

получим;

, (2)

Для вычисления

можно пользоваться формулой

Или

Дальнейшее упрощение уравнения (2) достигается при помощи преобразования координат

(3)

соответствующего повороту осей на угол α.

Если угол α выбран так, что

(4)

то в новых координатах уравнение линии примет вид

(5)

где

.

З а м е ч а н и е. Уравнение (4) позволяет определить

, тогда как в формулах (3) участвуют

. Зная

, можно найти

по формулам тригонометрии

Между коэффициентами уравнений (1) и (5) существуют важные соотношения:

,

которые позволяют определить коэффициенты А' и С', не проводя преобразования координат.

Уравнение второй степени называется эллиптическим, если о > 0, гиперболическим, если 5<0, и параболическим, если 6 = 0.

Уравнение центральной линии может быть только эллиптическим, или гиперболическим.

Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (т. е. определяет единственную точку), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет никакого геометрического образа).

Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную гиперболу (т. е. пару пересекающихся прямых).

*) То-есть установить, какие из них являются эллиптическими, какие гиперболическими и какие параболическими.

673. Определить тип каждого из следующих уравнений *); каждое из них путём параллельного переноса осей координат привести к простейшему виду; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:

1) 4х² + 9y² — 40х+ 36у + 100 = 0;

2) 9х²—16у² —54х — 64у — 127 = 0;

3) 9х² + 4у²+ 18х — 8у + 49 = 0;

4) 4х²— у² + 8х — 2у + 3 = 0;

5) 2х² + 3y² + 8х — 6у + 11=0.

Каждое из следующих уравнений привести к простейшему виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют, и изобразить на чертеже расположение этих образов относительно старых и новых осей координат:

1) 32х² + 52ху — 7у² + 180 = 0;

2) 5х² — 6ху + 5у² — 32 = 0;

3) 17х² — 12ху + 8у² = 0;

4) 5х² + 24ху — 5у² = 0;

5) 5х² — 6ху + 5у² + 8 = 0.

675. Определить тип каждого из следующих уравнений при помощи вычисления дискриминанта старших членов:

1) 2х²+10ху+12у² —7х + 18у —15 = 0;

2) 3х² — 8ху + 7у² + 8х — 15у + 20 = 0;

3) 25х² — 20ху + 4у² — 12х + 20у —17 = 0;

4) 5х² + 14ху + 11у² + 12х — 7у + 19 = 0;

5) х² — 4ху + 4у² + 7х — 12 = 0;

6) 3х² — 2ху — 3у³ + 12у — 15 = 0.

676. Каждое из следующих уравнений привести к каноническому виду; определить тип каждого из них; установить, какие геометрические образы они определяют; для каждого случая изобразить на чертеже оси первоначальной координатной системы, оси других Координатных систем, которые вводятся по ходу решения, и геометрический образ, определяемый данным уравнением:

1) 3х²+10ху + 3у² —2х—14у—13 = 0;

2) 25х² — 14ху + 25y² + 64х — 64у — 224 = 0;

3) 4ху + 3у² + 16х + 12у — 36 = 0;

4) 7х² + 6ху — у² + 28х + 12у + 28 = 0;

5) 19x² + 6xy + 11y² + 38x + 6y + 29 = 0;

6) 5х² — 2ху + 5у² — 4х + 20у + 20 = 0.

677. То же задание, что и в предыдущей задаче, выполнить для уравнений:

1) 14х² + 24ху + 21у² — 4х+18у—139 = 0;

2) 11х² —20ху —4у² —20х—8у+1=0;

3) 7х² + 60ху + 32у² — 14х — 60у + 7 = 0;

4) 50х² — 8ху + 35у² + 100х — 8у + 67 = 0;

5) 41х² + 24ху + 34у² + 34х — 112у + 129 = 0;

6) 29х² —24ху+36у² + 82х—96у —91=0;

7) 4х² + 24ху + 11у² + 64х + 42у + 51 = 0;

8) 41х² + 24ху + 9у² + 24х+18у —36 = 0.

678. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти величины его полуосей:

1) 41х² + 24ху + 9у² + 24х+18у —36 = 0;

2) 8х² + 4ху + 5у² + 16х + 4у — 28 = 0;

3) 13х²+ 18ху + 37у² — 26х — 18у + 3 = 0;

4) 13х²+10ху+13у² + 46х + 62у+13 = 0.

679. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет единственную точку (вырожденный эллипс), и найти её координаты:

а) 5х² — 6ху + 2у² — 2х + 2 = 0;

б) х² + 2ху + 2у² + 6у + 9 = 0;

в) 5х² + 4ху + у² — 6х — 2у + 2 = 0;

г) х² — 6ху + 10у²+ 10х — 32у+ 26 = 0.

680. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти величины её полуосей:

1) 4х² + 24ху + 11у² + 64х + 42у + 51=0;

2) 12х² + 26ху + 12у² — 52х — 48у + 73 = 0;

3) 3х² + 4ху — 12х + 16 = 0;

4) х² — 6ху — 7у² + 10х — 30у + 23 = 0.

681. Не проводя преобразования координат, установить, что каждое из следующих уравнений определяет пару пересекающихся прямых (вырожденную гиперболу), и найти их уравнения:

а) 3х² + 4ху + у² — 2х — 1=0;

б) х² — 6ху + 8у² — 4у — 4 = 0;

в) х² — 4ху + 3у² = 0;

г) х² + 4ху + 3у² — 6х — 12у + 9 = 0.

682. Не проводя преобразования координат, установить, какие геометрические образы определяются следующими уравнениями:

1) 8х²—12ху+17у²+16х—12у + 3 = 0;

2) 17х² —18ху —7у² + 34х—18у + 7 = 0;

3) 2х² + 3ху — 2у² + 5х + 10у = 0;

4) 6х² —6ху + 9у² —4х+18у+14 = 0;

5) 5х² —2ху + 5у² —4х + 20у + 20 = 0.

683. Для любого эллиптического уравнения доказать, что ни один из коэффициентов А и С не может обращаться в нуль и что они суть числа одного знака.

684. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (

> 0) определяет эллипс в том и только в том случае, когда А и

суть числа разных знаков.

685. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (

> 0) является уравнением мнимого эллипса в том и только в том случае, когда А и

суть числа одинаковых знаков.

686. Доказать, что эллиптическое уравнение второй степени (

> 0) определяет вырожденный эллипс (точку) в том и только в том случае, когда

= 0.

687. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (

< 0) определяет гиперболу в том и только в том случае, когда

.

688. Доказать, что гиперболическое уравнение второй степени (

< 0) определяет вырожденную гиперболу (пару пересекающихся прямых) в том и только в том случае, когда

= 0.

Учащимся

Учителям