§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся

в математике и её приложениях
701. Составить уравнение геометрического места точек, произведение расстояний которых до двух данных точек F₁ (— с; 0) и

Черт. 23. Черт. 24.
F₂ (с; 0) есть постоянная величина а². Такое геометрическое место точек называется о в а л о м К а с с и н и (черт. 23).

702. Составить уравнение геометрического места точек, про-. изведение расстояний которых до двух данных точек F₁ (— а; 0) и F₂ (а; 0) есть постоянная величина а². Такое геометрическое место точек называется л е м н и с к а т о й (черт. 24). (Уравнение лемнискаты сначала найти непосредственно, потом — рассматривая её как частный вид овала Кассини.) Составить также уравнение лемнискаты в полярных координатах, совмещая полярную ось с положительной полуосью Ох и полюс с началом координат.

703. Составить уравнение геометрического места оснований перпендикуляров, опущенных из начала координат на прямые, отсекающие от координатного угла треугольники постоянной площади S.

У к а з а н и е. Составить уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох.

704. Доказать, что геометрическое место точек задачи 703 есть лемниската (см. задачу 702).

У к а з а н и е. Повернуть координатные оси на угол в 45°.

705. Луч а, в начальном положении совпадающий с полярной осью, вращается вокруг полюса О с постоянной угловой скоростью ω. Составить в данной системе полярных координат уравнение траектории точки М, которая, имея начальное положение в О, движется по лучу а равномерно со скоростью v (спираль Архимеда, черт. 25).

706. Дана прямая х=2r и окружность радиуса r, которая проходит через начало координат О и касается данной прямой. Из точки О проведен луч, пересекающий данную окружность в точке В и данную прямую в точке С, на котором отложен отрезок

О

М = ВС (черт. 26). При вращении луча длина отрезка ОМ меняется и точка М описывает кривую, называемую ц и с с о и д о й. Составить уравнение циссоиды.

707. Дана прямая х = а (а > 0) и окружность диаметра а, проходящая через начало координат О, и касающаяся данной прямой. Из точки О проведён луч, пересекающий окружность в точке А и данную прямую в точке В. Из точек А и В проведены прямые, параллельные соответственно осям Оу и Ох (черт. 27). Точка М пересечения этих прямых при вращении луча описывает кривую, называемую в е р з ь е р о й. Составить её уравнение.

708. Из точки А (— а; 0), где a > 0, проведён луч АВ (черт. 28), на котором по обе стороны от

Черт. 25. точки В отложены отрезки ВМ и BN одинаковой длины b (b = const.). При вращении луча точки М к N описывают кривую, называемую конхоидой. Составить её уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точку А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

709. Из точки А(—а; 0), где a > 0, проведён луч АВ (черт. 29), на котором по обе стороны от точки В отложены отрезки ВМ и BN, равные 0В. При вращении луча точки М и N описывают кривую, называемую с т р о ф о и д о й. Составить её уравнение сначала в полярных координатах, помещая полюс в точке А и направляя полярную ось в положительном направлении оси Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

710. Из начала координат проведён луч, пересекающий данную окружность x2 + y²= 2ax (а > 0) в точке В (черт. 30); на луче

Черт. 26. Черт. 27.

по обе стороны от точки В отложены равные между собой отрезки ВМ и BN постоянной длины b, При вращении луча точки М и N

Черт. 28. Черт. 29.

описывают кривую, называемую у л и т к о й П а с к а л я (черт. 30). Составить её уравнение сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых

прямоугольных координат.

711. Отрезок длины 2а движется так, что его концы всё время находятся на координатных осях. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из начала координат на отрезок (черт. 31), сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат. Точка М описывает кривую, называемую четырёхлепестковой розой.

712. Отрезок длины а движется так, что его концы всё время находятся на координатных осях (черт. 32). Через концы отрезка проведены прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения в точке Р. Составить уравнение траектории основания М перпендикуляра, опущенного из точки Р на отрезок. Эта траектория называется а с т р о и д о й.

У к а з а н и е. Составить сначала параметрические уравнения астроиды, выбирая параметр t, как указано на черт. 32 (затем исключить параметр t).

713. Из точки В пересечения луча ОВ с окружностью х²+у² = ах опущен перпендикуляр ВС на ось Ох. Из точки С на луч ОВ опущен перпендикуляр СМ. Вывести уравнение траектории точки М сначала в полярных координатах, совмещая полюс с началом координат и полярную ось с положительной полуосью Ох, а затем перейти к данной системе декартовых прямоугольных координат.

714. Нить, намотанная на окружность х² + у² = а², разматывается так, что в точке В, где нить отделяется от окружности, она

остаётся касательной к ней (черт. 33). Найти параметрические уравнения линии, описываемой концом нити, если начальным положением конца является точка А (а; 0), где a > 0. Линия, о которой идёт речь, называется э в о л ь в е н т о й к р у г а.

Черт. 32. Черт. 33.

715. Круг радиуса а катится без скольжения по оси Ох. Траектория некоторой точки М окружности этого круга называется циклоидой (черт. 34). Вывести параметрические уравнения циклоиды, принимая в качестве параметра t угол, на который поворачивается катящаяся окружность вокруг своего центра; считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится в начале координат. Исключить параметр t из полученных уравнений.

716. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х² +у²=а², оставаясь вне её. Траектория некоторой точки M окружности Черт. 34.

катящегося круга называется к а р д и о и д о й (черт. 35). Вывести параметрические уравнения кардиоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведённого в точку касания с подвижной. Считать при этом, что в начальный момент (t = Q) точка М находится справа на оси Ох. Перейти к полярным координатам при условии, что направление полярной оси совпадает с положительным направлением оси абсцисс, а полюс находится в точке А.

Доказать, что кардиоида есть частный вид улитки Паскаля (см. задачу 710).

717. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х²+ у² = b², оставаясь вне её. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется эпициклоидой

(

черт. 36). Вывести параметрические уравнения эпициклоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведённого в точку касания с подвижной; считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится справа на оси Ох. Доказать, что кардиоида (см. задачу 716) есть частный вид эпициклоиды.

718. Круг радиуса а катится без скольжения по окружности х²+ у² = b², оставаясь внутри неё. Траектория некоторой точки М окружности катящегося круга называется гипоциклоидой (черт. 37). Вывести параметрические уравнения гипоциклоиды, выбирая в качестве параметра t угол наклона к оси Ох радиуса неподвижной окружности, проведённого в точку касания с подвижной; считать при этом, что в начальный момент (t = 0) точка М находится справа на оси Ох, Доказать, что астроида (см. задачу 712) есть частный вид гипоциклоиды.

Учащимся

Учителям