665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

ОТВЕТЫ (Глава 5)
665. Линии 1), 2), 5) и 8) имеют единственный центр; 3), 7) — не имеют центра; 4), 6) — имеют бесконечно много центров. 666. 1) (3; —2); 2) (0; —5); 3) (0; 0); 4) (—1; 3). 667. 1) х — 3у — 6 = 0; 2) 2х+у — 2 = 0; 3) 5х — у + 4 = 0. 668. 1) 9x² —18xy + 6у² + 2 = 0; 2) 6x² + 4xy + у — 7 = 0; 3) 4x² + 6xу + у²— 5 = 0; 4) 4x² + 2xу + 6у² + 1 = 0. 669. а) m ≠ 4, n — любое значение; б) m = 4, n ≠ 6; в) m = 4, n = 6. 670. a) k = 2; б) k₁ = — 1, k₂ = 5; в) при всех k ≠ 2 и удовлетворяющих неравенствам — 1 < k < 5; г) при k < — 1 и при k > 5. 671. x² — 8у² — 4 = 0. 672. х² + ху + у² + 3у = 0. 673. 1) Эллиптическое уравнение; определяет эллипс

= 1; О'(5; —2) — новое начало; 2) гиперболическое уравнение; определяет гиперболу

= 1; О'(3; —2) — новое начало; 3) эллиптическое уравнение

= —1; не определяет никакого геометрического образа (является уравнением «мнимого эллипса»); 4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся прямых 4x²— у² = 0; О' (— 1; —1) — новое начало; 5) эллиптическое уравнение; определяет вырожденный эллипс (единственную точку) 2x² + 3у² = 0. 674. *). 1) Гиперболическое уравнение; определяет гиперболу

= 1; tg α = — 2, cos α =

, sin α = —

; 2) эллиптическое уравнение; определяет эллипс

α = 45°; 3) эллиптическое уравнение; определяет вырожденный эллипс — единственную точку х’² + 4у^’2 = 0; tg α = 2, cos α =

, sin α =

. 4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся прямых х^’2—у^'2 = 0; tg α =

cos α =

, sin α =

, 5) эллиптическое уравнение; не определяет никакого геометрического образа (является уравнением «мнимого эллипса»); в новых координатах его уравнение имеет вид

+у'² = —1; α = 45°. 675. Гиперболическое; 2) эллиптическое; 3) параболическое; 4) эллиптическое; 5) параболическое; 6) гиперболическое. 676. 1) Гиперболическое уравнение; определяет гиперболу, уравнение которой приводится к виду x'² —

путём двух последовательных преобразований координат х = и (черт. 127); 2) эллиптическое уравнение; определяет эллипс, уравнение которого приводится к виду

= 1 путём двух последовательных преобразований координат х = — 1, y = + 1 и (черт. 128); 3) гиперболическое уравнение;

определяет гиперболу, уравнение которой приводится к виду

=1 путём двух последовательных преобразований координат х = , у = — 4 и

*) В задачах 674 1) —5) α есть угол от положительного направления старой оси абсцисс до новой.

(черт. 129); 4) гиперболическое уравнение; определяет вырожденную гиперболу — пару пересекающихся прямых, уравнение которых приводится к виду x'² — 4у² = 0 путём двух последовательных преобразований координат

(черт. 130); 5) эллиптическое уравнение; не определяет никакого геометрического образа — «мнимый эллипс»;

его уравнение приводится к виду х^’2 + 2у'² = — 1 путём двух последовательных преобразований координат

6) эллип-тическое уравнение; определяет вырожденный эллипс — единственную точку; его уравнение приводится к виду 2x'² + 3y² = 0 путёд двух последовательных преобразо-ваний координат 677. 1)

— эллипс; 2) 9x² — 16y² = 5 — гипербола; 3) x²—4y² = 0 - вырожденная гипербола — пара пересекающихся прямых, уравнения которых х — 2у = 0, х + 2у = 0; 4) 2x² + 3у² = — 1 — «мнимый эллипс»; уравнение не определяет никакого геометрического образа; 5) x² + 2у² = 0 — вырожденный эллипс; уравнение определяет единственную точку — начало координат; 6)

— эллипс; 7)

— гипербола; 8)

— эллипс. 678. 1) 3 и 1; 2) 3 и 2; 3) 1 и

; 4) 3 и 2. 679. а) x = 2, у = 3; б) x = 3, у = — 3; в) х = 1, у = — 1; г) х = — 2, у = 1. 680. 1) 2 и 1; 2) 5 и 1; 3) 4 и 2; 4) 1 и

. 681. а) х + y — 1 = 0, 3x + у — 1 = 0; б) х — 4у— 2 = 0, х — 2у + 2 = 0; в) x— у = 0, x — 3у = 0; г) х + у — 3 = 0, х + 3у — 3 = 0. 682. 1) Эллипс; 2) гипербола; 3) пара пересекающихся прямых (вырожденная гипербола);

4) уравнение не определяет никакого геометпического обоаза («мнимый эллипс»): 5) точка (вырожденный эллипс).

689. 1) параболическое уравнение; определяет параболу, уравнение которой приводится к виду y'’² = 2x" путём двух последовательных преобразований координат х =

и x^’= x^’’ — 3, y^’= y^’’ — 3, (черт. 131); 2) параболическое уравнение; определяет вырожденную параболу — пару параллельных прямых, уравнение которых приводится к виду х^’^’2 = 1 путём двух последовательных преобразований координат х =

и x^’ = x^’’ +

, y^’ = y^’’. (черт. 132); 3) параболическое уравнение; не определяет никакого геометрического образа; приводится к виду у^’’2+ 1 = 0 путём двух последовательных преобразований координат х =

и x^’ = x^’’, y^’ = y^’’ – 4. 690. 1) y² = 6x — парабола; 2) y² = 25 — вырожденная парабола — пара параллельных прямых, уравнения которых у — 5 = 0, у + 5 = 0; 3) y² = 0 — вырожденная парабола — пара слившихся прямых, совпадающих с осью абсцисс. 693. 1) (х + 2y)² + 4х + у — 15 = 0; 2) (3x — у)² — х + 2у — 14 = 0; 3) (5х-2у)² + 3х — у + 11 = 0; 4) (4x + 1у)² — 5х + 7у = 0; 5) (3x — 7у)² + 3х — 2у — 24 = 0. 697. 1) 3; 2) 3; 3)

; 4)

. 699. а) 2х + у — 5 = 0, 2х + у — 1 = 0; б) 2х — 3у —1 = 0, 2x — 3y + 11 = 0; в) 5x — у — 3 = 0, 5x — y + 5 = 0. 700. а) х — 3y + 2 = 0; б) 3x + 5y + 7 = 0; в) 4x — 2у — 9 = 0. 701. (x²+ y²)² — 2x²(x²—y²) = a⁴ — c⁴. 702. (х² + y²)² = 2a²(x² — y²); ² = 2а² cos 26. 703. ² = S sin 26; (x² + y²)² = 2Sxy. 705.  =

и  = —

. 706. (2r — х)у² = х². 707. x(а² + y²) = а². 708.  =

 b; x²y² + (x+a)²(x² — b²) = 0. 709.  =

 a tg ; x²[(x+a)² + y²] = a²y². 710.  = 2a cos   b; (x² + y² — 2ax)² = b² (x² + y²). 711.  = a|sin 2|; (x² + y²)² = 4a²x²y². 712. x = a cos³t, y = a sin³ t;

. 713.  = а cos² , (x²+ y²)² = аx². 714. x = a(cos t + t sin t), y = a(sin t — t cos t).715. x = а (t — sin t), y = a(l — cos t); x +

= a arccos

. 716. x = a(2 cos t — cos 2t), y = a(2 sin t — sin t);  = 2a(1 — cos ). 717. x = (a + b) cos t — a cos

t, у = (a + b) sin t — a sin

t. 718. x = (b — a) cos t + a cos

t, y = (b — a) sin t — a sin t.

Учащимся

Учителям