§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 1. Определители второго порядка и система двух уравнений

первой степени с двумя неизвестными
Пусть дана квадратная таблица из четырёх чисел a₁, a ₂, b₁, b ₂,

. (1)

Число a₁, b ₂, a₂, b ₁, называется определителем второго порядка, соответствую-

щим таблице (1). Этот определитель обозначается символом

соответственно имеем:

= a₁ b₂- a₂ b₁, (2)

Числа a₁ b₂ a₂ b₁, называются элементами определителя. Говорят, что элементы a₁ b₂, лежат на главной диагонали определителя, a_s, b_t — на побочной. Таким образом, определитель второго порядка равен разности между произведениями элементов, лежащих на главной и побочной диагоналях. Например,

= — 3* 4 – (—1) 2 = —10,

Рассмотрим систему двух уравнений

(3)

с двумя неизвестными х, у. (Коэффициенты a₁, b₁, а₂, b₂ и свободные члены

h₁, h₂ предположим данными.) Введём обозначения

. (4)

Определитель , составленный из коэффициентов при неизвестных системы (3), называется определителем этой системы. Определитель  получается путём замены элементов первого столбца определителя  свободными членами системы (3); определитель  получается из определителя  при помощи замены свободными членами системы (3) элементов его второго столбца.

Если   0, то система (3) имеет единственное решение; оно определяется формулами

(5)

Если  = 0 и при этом хотя бы один из определителей _x, _у отличен от нуля, то система (3) совсем не имеет решений (как говорят, уравнения этой системы несовместимы).

Если же  = 0, но также _x = _y = 0, то система (3) имеет бесконечно много решений (в этом случае одно из уравнений системы есть следствие другого).

Пусть в уравнениях системы (3) h₁=h₂ = 0; тогда система (3) будет иметь вид:

(6)

Система уравнений вида (6) называется однородной; она всегда имеет нулевое решение: х = 0, у = 0. Если   0, то это решение является единственным; если же  = 0, то система (6), кроме нулевого, имеет бесконечно много других решений.

1204. Вычислить определители:

1)

; 2)

; 3)

; 5)

; 6)

; 8)

.

1205. Решить уравнения:

1)

; 2)

;

3)

; 4)

;

5)

; 6)

; 8)

.

1206. Решить неравенства:

1)

; 2)

;

3)

; 4)

;

1207. Найти все решения каждой из следующих систем уравнений:

1) 2) 3)

4) 5) 6)

1208. Определить, при каких значениях а и b система уравнений

1) имеет единственное решение; 2) не имеет решений; 3) имеет бесконечно много решений.

1209. Определить, при каком значении а система однородных уравнений

имеет ненулевое решение.

Учащимся

Учителям