§ 16. Полярное уравнение прямой

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 16. Полярное уравнение прямой
Прямая, проведённая через полюс перпендикулярно к данной прямой, называется её нормалью. Обозначим буквой P точку, в которой нормаль пересекает прямую; установим на нормали положительное направление от точки О к точке Р. Угольна который нужно повернуть полярную ось до наложения её на отрезок ОР, будем называть полярным углом нормали.

380. Вывести полярное уравнение прямой, зная её расстояние от полюса р и полярный угол нормали .

Решение. 1—й способ. На данной прямой s (черт. 11) возьмём произвольную точку М с полярными координатами  и . Точку пересечения прямой s с её нормалью обозначим буквой Р. Из прямоугольного треугольника QPM находим:

(1)

Мы получили уравнение с двумя переменными  и , которому удовлетворяет координаты всякой точки, М, лежащей на прямой s₁ и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на этой прямой. Следовательно, уравнение (1) является уравнением прямой 8. Таким образом, задача решена.

2—й способ. Будем рассматривать декартову прямоугольную систему координат, положительная полуось абсцисс которой совпадает с полярной осью заданной полярной системы. В этой декартовой системе имеем нормальное уравнение прямой 5:

x cos  + у sin  — р = 0. (2)
Воспользуемся формулами преобразования полярных координат в декартовы:

х =  cos , у =  sin . (3)

Подставляя в уравнение (2) вместо х и у выражения (3), получим:

 (cos  cos  + sin  sin )=

или

381. Вывести полярное уравнение прямой, если даны:

1) угол  наклона прямой к полярной оси и длина перпендикуляра , опущенного из полюса на эту прямую. Написать уравнение этой прямой в случае

2) отрезок а₁который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса, и полярный угол а нормали этой прямой. Написать уравнение этой прямой в случае

а = 2,  =

;

3) угол  наклона прямой к полярной оси и отрезок а, который отсекает прямая на полярной оси, считая от полюса. Написать уравнение этой прямой в случае

, a=6.

382. Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M₁ (₁; ₁,) и наклонённой к полярной оси под углом .

383. Вывести полярное уравнение прямой, проходящей через точку M₁ (₁; ₁,), полярный угол нормали которой равен .

384. Составить уравнение прямой, проходящей через точки m₁ (₁; ₁,), и M₂ (₂; ₂).

Учащимся

Учителям