скачать doc
§ 4. Направленный отрезок. Проекция отрезка
на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат.
Длина и полярный угол отрезка. Расстояние
между двумя точками
Прямолинейный отрезок называется направленным, если указано, какая из ограничивающих его точек считается началом, какая — концом. Направленный отрезок, имеющий точку А своим началом и точку В концом (черт. 3), обозначается символом АВ (т. е. так же, как отрезок оси; см. § 1). Длина направленного отрезка АВ (при заданном масштабе) обозначается символом | АВ| (или АВ; см. сноску на стр. 13).Проекцией отрезка АВ на ось и называется число, равное величине отрезка A1В1 оси и, где точка A1 является проекцией на ось и точки А, а В1 — проекцией
Черт. 3. точки В.
Проекция отрезка АВ на ось и обозначается символом приАВ. Если на плоскости задана система декартовых прямоугольных координат, то проекция отрезка на ось Ох обозначается символом X, его проекция на ось Оу — символом Y.
Если известны координаты точек M1 (x1, у1) и М2(x2; у2), то проекции X и Y на оси координат направленного отрезка М1М2 могут быть вычислены по формулам
X = х2 — x1
Y = y2 — y1
Таким образом, чтобы найти проекции направленного отрезка на оси координат, нужно от координат его конца отнять соответствующие координаты начала.
Угол , на который нужно повернуть положительную полуось Ох так, чтобы её направление совпало с направлением отрезка M1M2, называется полярным углом отрезка M1M2,
Угол понимается, как в тригонометрии. Соответственно этому имеет бесконечно много возможных значений, которые отличаются друг от друга на величину вида ± 2п (где п — целое положительное число). Главным значением полярного угла называется то из его значений, которое удовлетворяет неравенствам — < .
Формулы
X = d*cos , Y = d* sin ,
выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Отсюда же вытекают формулы
d =
и
cos =
, sin = 
,которые выражают длину и полярный угол отрезка через его проекции на оси координат.
Если на плоскости даны две точки M1 (х1, у1) и M2 (х2, у2), то расстояние d между ними определяется формулой
d =
.44. Вычислить проекцию отрезка на ось и, если даны его длина d и угол наклона к оси:
l) d = 6, =
; 2) d = 6, = 
; 3) d = 7, = 
; 4) d = 5, = 0; 5) d = 5, = ; 6) d = 4, = —
.45. Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная их проекции на координатные оси:
1) Х = 3, Y = 2; 2) Х = 2, Y = — 5; 3) Х = — 5, Y = 0; 4) Х = — 2, Y = 3;
5) Х = 0, Y = 3; 6) Х = — 5, Y = — 1.
46. Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку M(2; —1), зная их проекции на координатные оси:
а) Х = 4, Y = 3; б) Х = 2, Y = 0; в) Х = — 3, Y = 1; г) Х = — 4, Y = — 2;
д) Х = 0, Y = —3; е) X = 1, Y == —3.
47. Даны точки M1(1; —2), M1 (2; 1), M2 (5; 0), M3 (—1; 4) и M4(0; —3).
Найти проекции на координатные оси следующих отрезков:
1) M1M2, 2) M3M23)M4M5, 4) M5M3.
48. Даны проекции отрезка М1М2 на оси координат Х= 5, Y = — 4; зная, что его начало в точке M1(—2; 3), найти координаты его конца.
49. Даны проекции отрезка АВ на оси координат Х= 4, Y = — 5; зная, что его конец в точке В(1; —3), найти координаты его начала.
50. Построить на чертеже отрезки, исходящие из начала координат, зная длину d и полярный угол каждого из них:
l) d = 5, =
; 2) d = 3, = 
; 3) d = 4, = —
; 4) d = 3, = —
.51. Построить на чертеже отрезки, имеющие началом точку М (2; 3), зная длину и полярный угол каждого из них:
1) d = 2, = —
; 2) d = 1, = 
; 3) d = 5, = —(координаты точки М — декартовы).
52. Вычислить проекции на координатные оси отрезка, зная длину d и полярный угол каждого из них:
l) d = 12, =
; 2) d = 6, = —
;3) d = 2, e = —
.53. Даны проекции отрезков на координатные оси:
1) Х = 3, Y = —4; 2) Х =12, Y =5; 3) Х = —8, Y = 6.
Вычислить длину каждого из них.
54. Даны проекции отрезков на координатные оси:
1) X = 1, Y =
; 2) X = 3
, Y = —3; 3) Х = — 2, Y = 2.Вычислить длину d и полярный угол каждого из них.
55. Даны точки
М1(2; —3), М2(1; —4), М3(—1; —7) и М4(—4; 8).
Вычислить длину и полярный угол следующих отрезков:
1) M1M2, 2) M1M3 3) M2M4, 4) M4M3.
56. Длина d отрезка равна 5, его проекция на ось абсцисс равна 4. Найти проекцию этого отрезка на ось ординат при условии, что он образует с осью ординат: а) острый угол, б) тупой угол.
57. Длина отрезка MN равна 13; его начало в точке М (3;—2), проекция на ось абсцисс равна — 12. Найти координаты конца этого отрезка при условии, что он образует с осью ординат: а) острый угол, б) тупой угол.
58. Длина отрезка MN равна 17, его конец в точке N (—7; 3), проекция на ось ординат равна 15. Найти координаты начала этого отрезка при условии, что он образует с осью абсцисс: а) острый угол, б) тупой угол.
59. Зная проекции отрезка на координатные оси Х = 1, Y = —
, найти его проекцию на ось, которая составляет с осью Ох угол = — .60. Даны две точки M1(1; —5) и M 2(4; —1). Найти проекцию отрезка M1M2 на ось, которая составляет с осью Ох угол = —
.61. Даны две точки Р(—5; 2) и Q(3; 1). Найти проекцию отрезка PQ на ось, которая составляет с осью Ох угол = arctg
.62. Даны две точки М1(2; —2) и М2(7; —3). Найти проекцию отрезка М1М2 на ось, проходящую через точки А (5; — 4), В(— 7; 1) и направленную: 1) от А к В, 2) от В к А.
63. Даны точки А (0; 0), В(3; —4), С(—3; 4), D(— 2; 2) и E(10; —3). Определить расстояние d между точками: 1) А и В; 2) В и С; 3) А и С; 4) С и D; 5) А и D; 6) D и Е.
64. Даны две смежные вершины квадрата А(3; —7) и В(—1;4). Вычислить его площадь.
65. Даны две противоположные вершины квадрата Р(3; 5) и Q(l; —3). Вычислить его площадь.
66. Вычислить площадь правильного треугольника, две вершины которого суть А(—3; 2) и В(1; 6).
67. Даны три вершины А(3; —7), В(5; —7), С(—2; 5) параллелограмма ABCD, четвёртая вершина которого D противоположна В. Определить длину диагоналей этого параллелограмма.
68. Сторона ромба равна 5
, две его противоположные вершины суть точки Р(4; 9) и Q(—2; 1). Вычислить площадь этого ромба.69. Сторона ромба равна 5
, две его противоположные вершины суть точки Р(3; —4) и Q(l; 2). Вычислить длину высоты этого ромба.70. Доказать, что точки A(3; —5), В(—2; —7) и С(18; 1) лежат на одной прямой.
71. Доказать, что треугольник с вершинами А1(1; 1), А2(2; 3) и А3(5; —1) прямоугольный.
72. Доказать, что точки А(2; 2), В(—1; 6), С(—5; 3) и D(—2; —1) являются вершинами квадрата.
73. Определить, есть ли среди внутренних углов треугольника с вершинами M1(1; 1), М2(0; 2) и M 3(2; —1) тупой угол.
74. Доказать, что все внутренние углы треугольника с вершинами М(—1; 3), N(1; 2) и Р(0; 4) острые.
75. Вершины треугольника суть точки А (5; 0), В(0; 1) и С(3; 3). Вычислить его внутренние углы.
76. Вершины треугольника суть точки А(—
; 1) В(0; 2) и С(—2; 2). Вычислить его внешний угол при вершине А.77. На оси абсцисс найти такую точку М, расстояние которой до точки N (2; —3) равнялось бы 5.
78. На оси ординат найти такую точку М, расстояние которой до точки N(—8; 13) равнялось бы 17.
79. Даны две точки М(2; 2) и N(5; —2); на оси абсцисс найти такую точку Р, чтобы угол MPN был прямым.
80. Через точку А (4; 2) проведена окружность, касающаяся обеих координатных осей. Определить её центр С и радиус R.
81. Через точку М1(1; —2) проведена окружность радиуса 5, касающаяся оси Ох. Определить центр С окружности.
82. Определить координаты точки М2, симметричной точке М1(1; 2) относительно прямой, проходящей через точки А(1; 0) и В(-1; -2).
83. Даны две противоположные вершины квадрата А (3; 0) и С(—4; 1). Найти две его другие вершины.
84. Даны две смежные вершины квадрата А(2; — 1) и В(— 1; 3). Определить две его другие вершины.
85. Даны вершины треугольника М1(—3; 6), М 2(9; —10) и М3(—5; 4). Определить центр С и радиус R описанного около этого треугольника круга.