§ 33. Смешанное произведение трёх векторов

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
Тройкой векторов называются три вектора, если указано, какой из них считается первым, какой вторым и какой третьим. Тройку векторов записывают в порядке нумерации; например, запись а, b, с означает, что вектор а считается первым, b — вторым, с — третьим.

Тройка некомпланарных векторов а, b, с называется правой, если составляющие её векторы, будучи приведены к общему началу, располагающи в порядке нумерации аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы правой руки. Если векторы а, b, с расположены аналогично тому, как расположены большой, указательный и средний пальцы левой руки, то тройка этих векторов называется левой.

Смешанным произведением трёх векторов а, b, с называется число, равное векторному произведению [ab], умноженному скалярно на вектор с, т. е. [ab] с.

Имеет место тождество: [ab] с = а [ab], ввиду чего для обозначения смешанного произведения [ab] с употребляется более простой символ: abc. Таким образом,

abc =[abс, abc —a [bc].

Смешанное произведение abc равно объёму параллелепипеда, построенного на векторах а, b, с, взятому со знаком плюс, если тройка abc правая, со знаком минус, если эта тройка левая. Если векторы а, b, с компланарны (и только в этом случае), смешанное произведение abc равно нулю; иначе говоря, равенство abc = 0

есть необходимое и достаточное условие компланарности векторов а, b, c. Если векторы а, b, с заданы своими координатами:

a = {X_l; Y₁; Z₁}, b ={X₂; Y₂; Z₂}, с = {X₃; Y₃; Z₃},

то смешанное произведение abc определяется формулой
abc =,
Напомним, что система координатных осей предполагается правой (вместе с тем является правой и тройка векторов i, j, k.

865. Определить, какой является тройка а, b, с (правой или левой), если:

1) а = k, b = i, с = у; 2 )а = i, b = k, c = j;

3) a = j, b = i, c = k; 4) а = i + y, b = j, c = k;

5) a = i + j, b = i — j, c= j; 6) a = i + y, b = i — j, c = k.

866. Векторы a, b, с, образующие правую тройку, взаимно перпендикулярны. Зная, что |а| = 4, |а| = 2, |а| = 3, вычислить abc.

867. Вектор с перпендикулярен к векторам а и b, угол между а и b равен 30°. Зная, что |а| = 6, |b| = 3, |c| = 3, вычислить abc.

868. Доказать, что

|аbc| < |а| |b| |c| ;

в каком случае здесь может иметь место знак равенства?

869. Доказать тождество (а + b) (b + с) (с + а) = 2abc.

870. Доказать тождество

аb (с + a + b) = abc,

где |а| и — какие угодно числа.

871. Доказать, что векторы а, b, с, удовлетворяющие условию

[ab] + [bc]+ [ca] = 0,

компланарны.

872. Доказать, что необходимым и достаточным условием компланарности векторов а, b, с является зависимость

a + b +c = 0,

где по крайней мере одно из чисел , , не равно нулю.

873. Даны три вектора:

a = {1; — 1; 3}, b = { — 2; 2; 1}, с = {3;—2;5}.

Вычислить a b c.

874. Установить, компланарны ли векторы а, b, с, если:

1) a = {2;3; — 1}, b = {l; - 1;3}, c = { 1; 9; — 11};

2) a = {3; — 2; 1 }, b = {2;1;2}, с = {3; — 1; —2 );

3) а = {2; —1; 2}, b = {1;2;— 3 }, с = {3;— 4; 7 }.

875. Доказать, что четыре точки

А(1; 2; —1), В (0; 1; 5), С (—1; 2; 1), D (2; 1; 3)

лежат в одной плоскости.

876. Вычислить объём тетраэдра, вершины которого находятся в точках А (2; —1; 1), В (5; 5; 4), С (3; 2; — 1) и D (4; 1; 3).

877. Даны вершины тетраэдра:

А(2; 3; 1), В(4; 1;—2), С(6; 3; 7), D(— 5; —4; 8).

Найти длину его высоты, опущенной из вершины D.

878. Объём тетраэдра

= 5, три его вершины находятся в точках А(2; 1; —1), В (3; 0; 1), С (2; —1; 3). Найти координаты четвёртой вершины D, если известно, что она лежит на оси Оу.

Учащимся

Учителям