§ Полярные координаты

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 3. Полярные координаты

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, луча ОА, исходящего из этой точки, называемого полярной осью, и масштаба для измерения длин. Кроме того, при задании полярной системы должно быть сказано, какие повороты вокруг точки О считаются положительными (на чертежах обычно положительными считаются повороты против часовой стрелки). Черт. 2.

Полярными координатами произвольной точки М (относительно заданной системы) называются числа = ОМ и  =  АОМ (черт. 2). Угол 6 при этом следует понимать так, как принято в тригонометрии. Число  называется первой координатой, или полярным радиусом, число  — второй координатой, или полярным углом точки М ( называют

также амплитудой) *).

Символ М (; ) обозначает, что точка М имеет полярные координаты  и .

Полярный угол  имеет бесконечно много возможных значений (отличающихся друг от друга на величину вида ± 2n, где п — целое положительное число). Значение полярного угла, удовлетворяющее неравенствам —  <  < + , называется главным.

В случаях одновременного рассмотрения декартовой и полярной систем координат условимся: 1) пользоваться одним и тем же масштабом, 2) при определении полярных углов считать положительными повороты в том направлении, в каком следует вращать положительную полуось абсцисс, чтобы кратчайшим путём совместить её с положительной полуосью ординат (таким образом, если оси декартовой системы находятся в обычном расположении, т. е. ось Ох направлена вправо, а ось Оу — вверх, то и отсчёт полярных углов должен быть обычным, т. е. положительными следует считать те углы, которые отсчитываются против часовой стрелки).

*) Здесь ОМ обозначает длину отрезка, понимаемую как в элементарной геометрии (т. е. абсолютно, без учёта знака). Употреблять более громоздкий символ | ОМ | в данном случае нет надобности, поскольку точки О и М рассматриваются как произвольные точки плоскости, а не как точки некоторой оси. Подобное упрощение символики в аналогичных случаях часто делается и дальше

При этом условии, если полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс, то переход от полярных координат произвольной точки к декартовым координатам той же точки осуществляется по формулам

х =  cos ,

у =  sin .

В этом же случае формулы

являются формулами перехода от декартовых координат к полярным.

При одновременном рассмотрении в дальнейшем двух полярных систем координат условимся считать направление положительных поворотов и масштаб для обеих систем одинаковыми.
26. Построить точки, данные полярными координатами:

A(3;

), B(2;

), С(З; 

), D(4; 3

), Е(5; 2) и F(1; — 1)

(для точек D, Е и F выполнить построение приближённо, пользуясь транспортиром).

27. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полярной оси точкам

M₁(3;

), M₂(2;—

), M₃(3;—

),

M₄(1; 2) и M_s(5; —1),

заданным в полярной системе координат.

28. Определить полярные координаты точек, симметричных относительно полюса точкам

M₁(1;

), M₂(5;—

), M₃(2;—

),

M₄(4;

) и M_s(3; —2),

заданным в полярной системе координат.

29. В полярной системе координат даны две вершины

A(3;

) и B(5;

)

параллелограмма ABCD, точка пересечения диагоналей которого совпадает с полюсом. Определить две другие вершины этого параллелограмма
30. В полярной системе координат даны точки А( 8; —

) и B(6;

). Вычислить полярные координаты середины отрезка, соединяющего точки А и В.

31. В полярной системе координат даны точки

А(3;

), B(2; —

), С(1;

), D(5; 

), Е(3; 2) и F(2; — 1).

Положительное направление полярной оси изменено на противоположное. Определить полярные координаты этих точек в новой системе.

32. В полярной системе координат даны точки

M₁(3;

), M₂(1;

), M₃(2; 0),

M₄(5;

), M_s(3; —

) и M₆(1;

)

Полярная ось повёрнута так, что в новом положении она проходит через точку М_1. Определить координаты заданных точек в новой (полярной) системе.

33. В полярной системе координат даны точки М₁ (12;

)

и М₂ (12; —

). Вычислить полярные координаты середины отрезка,

соединяющего точки M₁ и М₂.

34. В полярной системе координат даны точки M₁(₁; ₁) и М₂ (₂; ₂). Вычислить расстояние d между ними.

35. В полярной системе координат даны точки M₁(5;

) и М₂ (8; 

). Вычислить расстояние d между ними.

36. В полярной системе координат даны две смежные вершины

квадрата М₁(12; 

) и М₂ (3;

). Определить его площадь.

37. В полярной системе координат даны две противоположные вершины квадрата Р(6; —

) и Q(4;

) Определить его площадь.

38. В полярной системе координат даны две вершины правильного треугольника А(4; —

) и В(8;

). Определить его площадь.

39. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе, две другие суть точки А(₁, ₁) и В(₁, ₁). Вычислить площадь этого треугольника.

40. Одна из вершин треугольника ОАВ находится в полюсе О, две другие суть точки А (5;

) и В(4;

). Вычислить площадь этого треугольника.

41. Вычислить площадь треугольника, вершины которого А(3;

), В(8;

), С(6;

), заданы в полярных координатах.

42. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В полярной системе координат даны точки

M₁(6;

), M₂(5; 0), M₃(2;

), M₄(10;

), M_s(8;

) и M₆(12; 

)

Определить декартовы координаты этих точек.

43. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовых прямоугольных координат, а полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. В декартовой прямоугольной системе координат даны точки M₁(0;5), M₂(—3; 0), M₃(

; 1), M₄(—

; —), M₆ (1; —

). Определить полярные координаты этих точек.

Учащимся

Учителям