§ 41. Уравнения прямой

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 41. Уравнения прямой
Прямая как пересечение двух плоскостей определяется совместным заданием двух уравнений первой степени:

при условии, что коэффициенты A₁, B₁ C₁ первого из них не пропорциональны коэффициентам A₂, B₂C₂ второго (в противном случае эти уравнения будут определять параллельные или слившиеся плоскости).

Пусть некоторая прямая а определена уравнениями (1) и α и β — какие угодно числа, одновременно не равные нулю; тогда уравнение

α (A₁x + B₁y + C₁z + D) + β (A₂x + B₂y + C₂z + D) = 0 (2)

определяет плоскость, проходящую через прямую а.

Уравнением вида (2) (при соответствующем выборе чисел α, β) можно определить любую плоскость, проходящую через прямую а.

Совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую, называется пучком плоскостей. Уравнение вида (2) называется уравнением пучка плоскостей.

Если α 0 то полагая

, уравнение (2) можно привести к виду

А ₁x + B₁y + C₁z + D₁+  (А₂х + B₂y + С₂z + D ₂) = 0. (3)

В таком виде уравнение пучка плоскостей более употребительно, чем уравнение (2), однако уравнением (3) можно определить все плоскости пучка, за исключением той, которой соответствует α = 0, т. е. за исключением плоскости

А ₂x + B₂y + C₂z + D₂ = 0.

982. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости

5х — 7у + 2z — 3 = 0

с координатными плоскостями.

983. Составить уравнения прямой, образованной пересечением плоскости 3х — у - 7z + 9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось Ох и точку E (3; 2; —5).

984. Найти точки пересечения прямой

с координатными плоскостями.

985. Доказать, что прямая

пересекает ось Оу.

986. Определить, при каком значении D прямая

пересекает: 1) ось Ох; 2) ось Оу; 3) ось Oz.

987. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой

для того, чтобы эта прямая была параллельна: 1) оси Ох; 2) оси Оу; 3) оси Oz.

988. Найти соотношения, которым должны удовлетворять коэффициенты уравнений прямой

для того, чтобы эта прямая пересекала: 1) ось абсцисс; 2) ось ординат; 3) ось апликат; 4) совпадала с осью абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала с осью апликат.

989. В пучке плоскостей

2х— 3у + z — 3 + (х + 3у + 2z+1) = 0

найти плоскость, которая: 1) проходит через точку М₁ (1;—2; 3); 2) параллельна оси Ох; 3) параллельна оси Оу; 4) параллельна оси Oz.

990. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей 3х — у + 2z + 9 = О, х + z — 3 = 0: 1) и через точку M₁(4; —2; —3); 2) параллельно оси Ох; 3) параллельно оси Оу; 4) параллельно оси Oz.

991. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 2х—у + 3z — 5 = 0, х + 2у —z + 2 = 0 параллельно вектору l = {2; — 1; —2 }.

992. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 5х — 2у — z — 3 = 0, х + 3у — 2z + 5 = 0 параллельно вектору l = {7; 9; 17 }.

993. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую пересечения плоскостей 3х — 2у + z — 3 = 0, х— 2z = 0 перпендикулярно плоскости х — 2у + z + 5 = 0.

994. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую

перпендикулярно плоскости х + 19у — 7z— 11 =0.

995. Составить уравнение плоскости, которая проходит через прямую пересечения плоскостей 2х + у— z+1=0, х + у + 2z + 1 = 0 параллельно отрезку, ограниченному точками M₁(2; 5; — 3) 2), M₂(3; — 2; — 2).

996. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей

А ₁x + B₁y + C₁z + D₁+  (А₂х + B₂y + С₂z + D ₂) = 0.

и равноудалённой от точек M₁(3; —4; —6), M₂(1; 2; 2).

997. Определить, принадлежит ли плоскость

4х — 8у + 17z — 8 = 0

пучку плоскостей

α(5х — y + 4z— 1)+ β(2х + 2у — 3z + 2) = 0.

998. Определить, принадлежит ли плоскость

5х — 9у — 2z + 12 = 0

пучку плоскостей

α(2х — 3y + 4z—5) + β (х — 2у — z — 7) = 0.

999. Определить, при каких значениях l и т плоскость

5х + lу + 4z + т = 0

принадлежит пучку плоскостей

α(3х—7y +z—3) + β(х - 9у — 2z + 5) = 0.

1000. Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей

α(х—3y+7z +36) + β(2х + у —z —15) = 0.

и отстоит от начала координат на расстоянии р = 3.

1001. Написать уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей

α(10х—8y — 15z + 56) + β(4х + у + 3z —1) = 0.

и отстоит от точки С(3; —2; —3) на расстоянии d = 7.

1002. Найти уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей

α(4х+13y - 2z -60) + β(4х +3 у + 3z -30) = 0.

и отсекает от координатного угла Оху треугольник с площадью, равной 6 кв. ед.

1003. Составить уравнения плоскостей, проектирующих прямую —

на координатные плоскости.

1004. Составить уравнения проекций прямой

на координатные плоскости.

1005. Составить уравнение плоскости, проектирующей прямую

на плоскость х + 2у + 3z — 5 = 0.

1006. Составить уравнения проекции прямой

на плоскость 2х — у + 2— 1 = 0.

Учащимся

Учителям