§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости

«в отрезках»
Каждое уравнение первой степени
Ах + By + Сz + D = 0
(в декартовых координатах) определяет плоскость. Если в этом уравнении отсутствует свободный член (D = 0), то плоскость проходит через начало координат. Если отсутствует член с одной из текущих координат (т. е. какой либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноимённа с отсутствующей координатой; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость проходит через эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с текущими координатами (какие—либо два из коэффициентов А, В, С равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатных плоскостей, именно той, которая проходит через оси, одноимённые с отсутствующими координатами; если, кроме того, отсутствует свободный член, то плоскость совпадает с этой координатной плоскостью.

Если в уравнении плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

ни один из коэффициентов А, В, С, D не равен нулю, то это уравнение может быть преобразовано к виду

,

где

суть величины отрезков, которые плоскость отсекает на координатных осях (считая каждый от начала координат). Уравнение (1) называется уравнением плоскости в «отрезках».

940. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точку М₁(2; — 3; 3) параллельно плоскости Оху;

2) через точку М₂(l; —2; 4) параллельно плоскости Oxz;

3) через точку М₃(—5; 2; —1) параллельно плоскости Oyz.

941. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через ось Ох и точку М₁(4; —1; 2);

2) через ось Оу и точку М₂(1; 4; —3);

3) через ось Oz и точку М₃(3; —4; 7).

942. Составить уравнение плоскости, которая проходит:

1) через точки М₁(7; 2; —3) и М₂(5; 6; —4) параллельно оси Ох;

2) через точки P₁ (2; —1; 1) и Р₂(3; 1; 2) параллельно оси Оу;

3) через точки Q₁ (3; —2; 5) и Q₂(2; 3; 1) параллельно оси Oz.

943. Найти точки пересечения плоскости 2х — 3у — 4z— 24 = 0 с осями координат.

944. Дано уравнение плоскости х + 2у — 3z — 6 = 0. Написать для неё уравнение «в отрезках».

945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью 3х — 4у — 24z + 12 = 0 на координатных осях.

946. Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость

5х—6у + 3z + 120 = 0

от координатного угла Оху.

947. Вычислить объём пирамиды, ограниченной плоскостью 2х — 3у + 6z — 12 = 0 и координатными плоскостями.

948. Плоскость проходит через точку M₁(6; —10; 1) и отсекает на оси абсцисс отрезок a = — 3 и на оси апликат отрезок с = 2. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

949. Плоскость проходит через точки M₁(1; 2; —1) и M₂(—3; 2; 1) и отсекает на оси ординат отрезок b — 3. Составить для этой плоскости уравнение «в отрезках».

950. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку M₁(2; —3; —4) и отсекает на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой величины (считая каждый отрезок направленным из начала координат).

951. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точки M₁(—1; 4; —1), М₂(—13; 2; —10) и отсекает на осях абсцисс и апликат отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

952. Составить уравнения плоскостей, которые проходят через точку M₁ (4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины.

953. Составить уравнение плоскости, отсекающей на оси Oz отрезок с = — 5 и перпендикулярной к вектору п = {—2; 1; 3 }.

954. Составить уравнение плоскости, параллельной вектору l = {2; 1; —1} и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = 3, b = — 2.

955. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2х — 2у + 4z — 5 = 0 и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а = — 2, b =

Учащимся

Учителям