§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении

§ Ось и отрезки оси. Координаты на прямой
Координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке
§ Полярные координаты
§ Направленный отрезок. Проекция отрезка на произвольную ось. Проекции отрезка на оси координат. Длина и полярный угол отрезка. Расстояние между двумя точками
§ Деление отрезка в данном отношении
§ Площадь треугольника
§ Преобразование координат
§ Функция двух переменных
§ Понятие уравнения линии. Задание линии при помощи уравнения
§ 12. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Угол между двумя прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности двух прямых
Исследование уравнений двух и трёх прямых. Уравнение прямой «в отрезках»
Задача определения расстояния от точки до прямой
§ 15. Уравнение пучка прямых
§ 16. Полярное уравнение прямой
§ 17. Окружность
Где b =; очевидно, a  b
Фокусы гиперболы обозначают буквами
Расстояние от фокуса до директрисы буквой
§ 21. Полярное уравнение эллипса, гиперболы и параболы
§ 22. Диаметры линий второго порядка
§ 23. Центр линии второго порядка
§ 24. Приведение к простейшему виду уравнения центральной линии второго порядка
§ 25. Приведение к простейшему виду параболического уравнения
§ 26. Уравнения некоторых кривых, встречающихся в математике и её приложениях 701
§ 27. Декартовы прямоугольные координаты в пространстве
§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка в данном отношении
§ 29. Понятие вектора. Проекции вектора
§ 30. Линейные операции над векторами Суммой а + b двух векторов а
А, b обозначается символом аb
§ 32. Векторное произведение векторов
§ 33. Смешанное произведение трёх векторов
§ 34. Двойное векторное произведение Пусть вектор а умножается векторно на вектор b
Задача о пересечении трёх поверхностей
§ 37. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими, параллельными одной из координатных осей
§ 38. Общее уравнение плоскости. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку и имеющей данный нормальный вектор
§ 39. Неполные уравнения плоскостей. Уравнение плоскости «в отрезках»
40. Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости
§ 41. Уравнения прямой
Если известна одна точка
§ 43. Смешанные задачи, относящиеся к уравнению плоскости и уравнениям прямой 1038
§ 44. Сфера
Решение*). Пусть м ( r
§ 46. Поверхности второго порядка
Ответы (Глава 1) См черт. 54. 2
) 146. f ( x, у) =2ах-а 147. 1) f ( x; у) = 2ах; 2) f
210. Точки Черт. 76. Черт. 77. M 1
Ответы (Глава 4)
665. Линии 1, 2, 5 и 8 имеют единственный центр; 3, 7 — не имеют центра; 4, 6 — имеют бесконечно много центров. 666
) 720. 1) (4; 3; 0), (-3; 2; 0), точка с лежит на плоскости о X
Ответы (Глава 7) 748
885. Точки m 1, m 2, m 4, лежат на поверхности, точки М
Ответы (Глава 9) 913.. 914. 915. 916
§ Определители второго порядка и система двух уравнений первой степени с двумя неизвестными
§ Однородная система двух уравнений первой степени с тремя неизвестными
§ Определители третьего порядка
§ Свойства определителей
Решение и исследование системы трёх уравнений первой степени с тремя неизвестными Рассмотрим систему уравнений (1) с неизвестными х, у, z (коэффициенты a t, b
Предисловие ко второму изданию
Предисловие к первому изданию

скачать doc

§ 28. Расстояние между двумя точками. Деление отрезка

в данном отношении
Расстояние d между двумя точками M₁(x₁; у₁ ; z₁) и M₂(x₂; y₂; z₂) в пространстве определяется формулой

Координаты х, у, z точки М, которая делит отрезок

, ограниченный точками M₁ (х₁ , y₁ , z₁) и M₂ (x₂ ; y₂ ; z₂ ), в отношении

, определяются по формулам:

, ,

В частности, при  = 1 имеем координаты середины данного отрезка:

_{, ,}

726. Даны точки: A (1; —2; — 3), В (2; —3; 0), С (3; 1; —9), D (— 1; 1; — 12). Вычислить расстояние между: 1) А и С; 2) B и D; 3) С и D.

727. Вычислить расстояния от начала координат О до точек: A (4; —2; —4), B (— 4; 12; 6), С (12; —4; 3), D (12; 16; — 15).

728. Доказать, что треугольник с вершинами А (3; — 1; 2), B (0; —4; 2) и С (—3; 2; 1) равнобедренный.

729. Доказать, что треугольник с вершинами А₁ (3; — 1; 6), А₂ (—1; 7; —2) и А₃ (1; —3; 2) прямоугольный.

730. Определить, есть ли тупой угол среди внутренних углов треугольника M₁ (4; —1; 4), М₂(0; 7; —4), M₃ (3; 1; —2).

731. Доказать, что внутренние углы треугольника М (3; —2; 5), N (— 2; 1; —3), P (5; 1; —1) острые.

732. На оси абсцисс найти точку, расстояние которой от точки А (— 3; 4; 8) равно 12.

733. На оси ординат найти точку, равноудалённую от точек A (1; —3; 7) и В (5; 7; —5).

734. Найти центр С и радиус R шаровой поверхности, которая проходит через точку Р (4; —1; —1) и касается всех трёх координатных плоскостей.

735. Даны вершины треугольника: М₁ (3; 2; —5), М₂ (1; —4; 3) и M₃ (— 3; 0; 1). Найти середины его сторон.

736. Даны вершины треугольника A (2; —1; 4), В (3; 2; —6), С (— 5; 0; 2). Вычислить длину его медианы, проведённой из вершины А.

737. Центр тяжести однородного стержня находится в точке С (1; —1; 5), один из его концов есть точка А (—2; —1; 7). Определить координаты другого конца стержня.

738. Даны две вершины А (2; —3; —5), В (—I; 3; 2) параллелограмма АВСО и точка пересечения его диагоналей Е (4; — 1; 7). Определить две другие вершины этого параллелограмма.

739. Даны три вершины A (3; —4; 7), В (— 5; 3; — 2) и С (1; 2; —3) параллелограмма АВСО. Найти его четвёртую вершину D, противоположную В.

740. Даны три вершины A (3; —1; 2), B (1; 2; —4) и С (—1; 1; 2) параллелограмма АВСD. Найти его четвёртую вершину D.

741. Отрезок прямой, ограниченный точками A (—1; 8; 3) и В (9; — 7; — 2), разделён точками С, О, Е, F на пять равных частей. Найти координаты этих точек.

742. Определить координаты концов отрезка, который точками С (2; 0; 2) и D (5; — 2; 0) разделён на три равные части.

743. Даны вершины треугольника А (1; 2; — 1), В (2; — 1; 3) и С (— 4; 7; 5). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего угла при вершине В.

744. Даны вершины треугольника А (1; —1; —3), В (2; 1; —2) и С (— 5; 2; — 6). Вычислить длину биссектрисы его внешнего угла при вершине А.

745. В вершинах тетраэдра А (x₁ ; у₁ ; z₁), В (х₂; у₂; z₂), С (х₃; у₃; z₃), D (х₄; у₄; z₄) сосредоточены равные массы. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.

746. В вершинах тетраэдра A₁(x₁ ; у₁ ; z₁), A₂(х₂; у₂; z₂), А₃(х₃; у₃; z₃), А₄(х₄; у₄; z₄) сосредоточены массы m_l, m₂, m₃, и т₄. Найти координаты центра тяжести системы этих масс.

747. Прямая проходит через две точки М₁(—1; 6; 6) и М₂(3; — 6; — 2). Найти точки ее пересечения с координатными плоскостями

Учащимся

Учителям